Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足對任意的x∈R，都有f（x+8）=f（x）+f（4），且x∈[0，4]時，f（x）=4-x，則f（2009）的值為

1. A.
   -3
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   -2

Answer 1

B
分析：利用函數是偶函數，由f（x+8）=f（x）+f（4），可得函數的周期，然后利用周期性進行求值．
解答：因為定義在R上的偶函數f（x）滿足對任意的x∈R，都有f（x+8）=f（x）+f（4），
所以當x=-4時，f（-4+8）=f（-4）+f（4），即f（4）=2f（4），所以f（4）=0．
所以f（x+8）=f（x）+f（4）=f（x），即函數的周期是8．
所以f（2009）=f（2008+1）=f（1）=4-1=3．
故選B．
點評：本題主要考查函數周期性的性質以及應用，利用函數的奇偶性先得f（4）的值，然后利用根據周期性的定義是解決本題的關鍵．