Question

【題目】已知 ，其中a＞0，a≠1．
（Ⅰ）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調函數，求實數a，b的取值范圍；
（Ⅱ）當a=2時，函數f（x）在（﹣∞，+∞）上只有一個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調函數，且在（﹣∞，0）上遞增，

∴f（x）在[0，+∞）上是遞增函數∴a＞1，且f（0）=1+b≥﹣1，得b≥﹣2，

∴a＞1，b≥﹣2．

（Ⅱ）∵x＜0時，f（x）＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，0）上無零點，

∴x≥0時，f（x）=2x+b只有一個零點，

∵f（x）在[0，+∞）遞增，

∴f（0）=1+b≤0，即b≤﹣1．

∴實數b的取值范圍是b∈（﹣∞，﹣1]

【解析】（Ⅰ）由題意可得出f（x在（﹣∞，0）上遞增，f（x）在[0，+∞）上是也遞增函數，根據指數函數的單調性可得到a＞1，再根據二次函數的單調性得出f（0）≥﹣1，即得出b≥﹣2。（Ⅱ）當a=2時，由∵x＜f（x）＜﹣1可得到f（x）在（﹣∞，0）上無零點，所以當x≥0時，f（x）=2x+b只有一個零點，再根據函數的增減性得出b≤﹣1．