Question

【題目】已知正三棱錐每個頂點都在球的球面上，球心在正三棱錐的內部．球的半徑為，且．若過作球的截面，所得圓周長的最大值是，則該三棱錐的側面積為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

依題意，該球的大圓的周長為8π，可得R＝4， BC=6．設底面BCD的中心為E，連接BE并延長交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中應用勾股定理得到OE．可得三棱錐的高AE＝AO+OE．所以由勾股定理得到三棱錐的斜高AF ．求側面積即可．

依題意，該球的大圓的周長為8π，所以2πR＝8π，得R＝4，

如圖，正三棱錐A﹣BCD中，設底面三角形BCD的中心為E，則AE⊥平面BCD，

設F為CD的中點，連接BF，AF，則E是BF的三等分點，且AF是三棱錐的側面ACD的斜高．

根據正三棱錐的對稱性，球心O在AE上．

所以BC6．

則BE2．EF，

又因為三角形OBE為直角三角形，所以OE2．

所以三棱錐的高AE＝AO+OE＝4+2＝6．

所以三棱錐的斜高AF．

該三棱錐的側面積為S側＝339．

故填：．