Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點為，點在橢圓上，且點關于原點對稱，直線的斜率的乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經過點，且與橢圓交于不同的兩點，若，判斷直線的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為定值

【解析】

（1）利用斜率乘積為，，可構造出方程組，求解得到和，從而可得橢圓標準方程；（2）聯立直線與橢圓方程，可得關于的一元二次方程；利用判別式大于零可求得的取值范圍；利用韋達定理表示出和；根據，可得到；利用向量數量積坐標運算，代入韋達定理整理得到，解方程可求得結果.

（1）由題意知：，又，

可得：，，

橢圓的方程為：

（2）設直線的方程為：

將其代入，整理可得：

則，得：

設，

則，

又，且

又，

所以

又，

化簡得：，解得：

直線的斜率為定值