Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是菱形， 平面, , .

（1）證明：平面平面.

（2）若二面角是直二面角，求與平面所成角的正切值。

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）

【解析】試題分析：(1)利用面面垂直的判定定理證明即可; (2)利用二面角是直二面角,求出菱形的邊長,再求出與平面所成角的正切值.

試題解析：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴

∵平面∴

∴平面

∵平面∴平面⊥平面

（2）(向量）解：以點為原點， 方向為軸， 方向為軸， 方向為軸建立空間直角坐標系，如圖。做的中點，連接,因為平行且等于， .

所以四邊形為平行四邊形,

因為在中， ，所以，所以

設長為，則各點坐標為

； ； ；

所以； ；

設為面的法向量； 為面的法向量。

所以；

得

令得

同理得

因為二面角是直二面角，所以

得

由題可得： 為與平面所夾角

因為

所以

(幾何）

∵四邊形是菱形，∴

∴，∴

過作，連接，則為二面角的平面角

設菱形的邊長為

∵, ，∴

在中， ，∴

∵二面角為直角，∴為直角

∴

在中， ，設，則

∴

與平面所成角為

∴