Question

【題目】如圖，在圓柱中，A，B，C，D是底面圓的四等分點，O是圓心，A1A，B1B，C1C與底面ABCD垂直，底面圓的直徑等于圓柱的高．

（Ⅰ）證明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A1 - BB1 - D的大小；

（ⅱ）求異面直線AB1和BD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（ⅰ） ；（ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知條件先證明BC⊥平面A1B1BA，又BA1平面A1B1BA，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）（ⅰ）由圓柱性質知CB、CD、CC1兩兩垂直．以C為原點，以、、為x軸、y軸、z軸正方向建系求解即可;

（ⅱ）通過求向量， 的夾角，可得異面直線AB1和BD所成角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為B1B⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，所以BC⊥B1B，又因為在底面圓O中，AB⊥BC，AB∩B1B = B，所以BC⊥平面A1B1BA，又因為BA1平面A1B1BA，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）（ⅰ）由圓柱性質知CB、CD、CC1兩兩垂直．以C為原點，以、、為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，不妨設圓柱的高為2．

則， ， ．所以平面A1B1B的一個法向量是．

平面BB1D的一個法向量是．

所以．

由圖知二面角A1 - BB1 - D是銳二面角，所以它的大小是．

（ⅱ）由題意得， ， ．

所以， ．

所以．