Question

如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA、OB為直徑作兩個半圓，在扇形OAB內隨機取一點，求此點取自陰影部分的概率．

Answer 1

分析：設OA=OB=2，兩個半圓的交點為C，且以AO為直徑的半圓以D為圓心，連結OC、CD．根據扇形面積公式和三角形面積公式算出S_弓形OMC=

π

4

-

1

2

，從而得到空白部分面積為S_空白=2，算出兩塊陰影部分面積之和為π．最后根據幾何概型計算公式，將所得陰影部分面積除以扇形OAB的面積，即可得到所求概率．

解答：解：如圖，設兩個半圓的交點為C，且以AO為直徑的半圓以D為圓心，連結OC、CD
設OA=OB=2，則弓形OMC的面積為
S_弓形OMC=S_扇形OCD-S_Rt△DCO=

1

4

•π•1²-

1

2

×1×1=

π

4

-

1

2

可得空白部分面積為S_空白=2（S_半圓AO-2S_弓形OMC）=2[

1

2

•π•1²-（

π

2

-1）]=2
因此，兩塊陰影部分面積之和為
S_陰影=S_扇形OAB-S_空白=

1

4

π•2²-2=π-2
可得在扇形OAB內隨機取一點，此點取自陰影部分的概率為P=

S陰影

S扇形AOB

=

π-2

π

=1-

2

π

答：在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為1-

2

π

．

點評：本題給出扇形中的陰影部分，求相應的概率，著重考查了扇形面積公式、組合圖形的面積計算和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．