Question

【題目】設正項數列的前項和，且滿足.

（Ⅰ）計算的值，猜想的通項公式，并證明你的結論；

（Ⅱ）設是數列的前項和，證明：.

Answer 1

【答案】(1) （2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據 關系，將條件轉化為項與項遞推關系，依次代入求解，可得的值，根據規律猜想，利用項與項遞推關系及歸納假設證明n=k+1時情況（2）利用放縮裂項求和：，也可直接利用數學不等式進行證明

試題解析：（Ⅰ）解：當n=1時，，得；，得；

，得.

猜想

證明：（ⅰ）當n=1時，顯然成立.

（ⅱ）假設當n=k時，

則當n=k+1時，

結合，解得

于是對于一切的自然數，都有

（Ⅱ）證法一：因為，

證法二：數學歸納法

證明：（ⅰ）當n=1時，，，

（ⅱ）假設當n=k時，

則當n=k+1時，

要證：只需證：

由于

所以

于是對于一切的自然數，都有