Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+ax在（﹣1，0）上是增函數．
（1）求實數a的取值范圍A；
（2）當a為A中最小值時，定義數列{an}滿足：a1∈（﹣1，0），且2an+1=f（an），用數學歸納法證明an∈（﹣1，0），并判斷an+1與an的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=﹣3x2+a≥0即a≥3x2在x∈（﹣1，0）恒成立，a≥3．

∴a∈[3，+∞）；∴A=[3，+∞）；

（2）解：用數學歸納法證明：an∈（﹣1，0）．

（ⅰ）n=1時，由題設a1∈（﹣1，0）；

（ⅱ）假設n=k時，ak∈（﹣1，0）

則當n=k+1時，

由（1）知：f（x）=﹣x3+3x在（﹣1，0）上是增函數，又ak∈（﹣1，0），

所以 ，

綜合（ⅰ）（ⅱ）得：對任意n∈N*，an∈（﹣1，0）．

因為an∈（﹣1，0），所以an+1﹣an＜0，即an+1＜an．

【解析】（1）通過函數的導數值恒大于等于0，求實數a的取值范圍A；（2）直接利用數學歸納法證明步驟證明an∈（﹣1，0），通過作差法比較an+1與an的大小．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和數學歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．