Question

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求側棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大��；
（Ⅱ）已知點D滿足，在直線AA₁上是否存在點P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出AA₁向量，平面AA₁C₁C的法向量，然后求出側棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求出，設出P的坐標，使DP∥平面AB₁C，即，再求出P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）∵側面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點O，
∴A₁O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱長都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC．（2分）
故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則
A（0，-1，0），B（，0，0），A₁（0，0，），
C（0，1，0），；
∴．（4分）
設平面AB₁C的法向量為n=（x，y，1）
則
解得n=（-1，0，1）．（6分）
由cos＜＞=．
而側棱AA₁與平面AB₁C所成角，
即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，
∴側棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小為．（6分）

（Ⅱ）∵，
而．
∴．（8分）
又∵B（，0，0），∴點D的坐標為D（-，0，0）．
假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P（0，y，z）．
∴
∵DP∥平面AB₁C，n=（-1，0，1）為平面AB₁C的法向量，
∴由，得，∴．（11分）
又DP?平面AB₁C，
故存在點P，使DP∥平面AB₁C，其坐標為（0，0，），即恰好為A₁點．（12分）
點評：本題考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力，邏輯思維能力，具有探索性特點，是難度較大題目．