Question

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求側棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知點D滿足

BD

=

BA

+

BC

，在直線AA₁上是否存在點P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出AA₁向量，平面AA₁C₁C的法向量，然后求出側棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求出

BD

=

BA

+

BC

，設出P的坐標，使DP∥平面AB₁C，即

DP

與法向量共線，再求出P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）∵側面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點O，
∴A₁O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱長都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=

3

，BO⊥AC．（2分）
故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則
A（0，-1，0），B（

3

，0，0），A₁（0，0，

3

），
C（0，1，0），

AA1

=(0，1，

3

)；
∴

A B   1

=(

3

，2，

3

)，

AC

=(0，2，0)．（4分）
設平面AB₁C的法向量為n=（x，y，1）
則

n• A B   1 = 3 x+2y+ 3 n• AC =2y=0

解得n=（-1，0，1）．（6分）
由cos＜

AA1

，n＞=

A A   1 •n

| AA1 |•|n|

=

3

2 2

=

6

4

．
而側棱AA₁與平面AB₁C所成角，
即是向量

AA1

與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，
∴側棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小為

6

4

．（6分）

（Ⅱ）∵

BD

=

BA

+

BC

，
而

BA

=(-

3

，-1，0)，

BC

=(-

3

，1，0)．
∴

BD

=(-2

3

，0，0)．（8分）
又∵B（

3

，0，0），∴點D的坐標為D（-

3

，0，0）．
假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P（0，y，z）．
∴

DP

=(

3

，y，z)
∵DP∥平面AB₁C，n=（-1，0，1）為平面AB₁C的法向量，
∴由

AP

=λ

AA1

，得

y+1=λ 3 =λ 3

，∴y=0．（11分）
又DP?平面AB₁C，
故存在點P，使DP∥平面AB₁C，其坐標為（0，0，

3

），即恰好為A₁點．（12分）

點評：本題考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力，邏輯思維能力，具有探索性特點，是難度較大題目．