Question

已知正項數列{a_n}中，a₁=1，點（

an

，a_n+1）（n∈N）在函數y=x²+1的圖象上，數列{b_n}的n項和s_n=2-b_n．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設C_n=

-1

an+1log2bn+1

，求{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）點 (

an

，an+1)在函數y=x²+1的圖象上得到a_n+1-a_n=1所以a_n是以1為首項，1為公差的等差數列，然后根據s_n=2-b_n，得出數列{bn}是公比為

1

2

的等比數列，即可求出{b_n}的通項公式．
（2）首先根據對數的運算性質求出

log

bn+1 2

=

log	( 1 2 )n 2

=-n，然后求出數列{c_n}的通項公式，最后進行求和．

解答：解：（1）∵點（

an

，a_n+1）（n∈N）在函數y=x²+1的圖象上，∴a_n+1-a_n=1，
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列，
∵a₁=1，
∴a_n=n，
∵數列{b_n}的n項和s_n=2-b_n，
∴s_n+1=2-b_n+1，
兩式相減得

bn+1

bn

=

1

2

，
∴數列{bn}是公比為

1

2

的等比數列，
由s_n=2-b_n，得b₁=1，
∴b_n=(

1

2

)n-1，
（2）∵

log

bn+1 2

=

log	( 1 2 )n 2

=-n，
∴c_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n+1=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題主要考查數列求和和等差等比數列求通項公式的知識點，本題通過函數圖象與點的關系，轉化為橫縱坐標間的關系，構建數列，來考查數列的通項公式的求法及通項與前n項和之間的關系．