Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，Sn是數列{an}的前n項和，且4Sn=an2+2an﹣3．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）已知bn=2n，求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

Answer 1

【答案】（1）an=3+2（n﹣1）=2n+1；

（2）（2n﹣1）2n+2．

【解析】試題分析：（1）由題意知，解得a1=3，由此能夠推出數列{an}是以3為首項，2為公差的等差數列，所以an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）由題意知Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n，2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1，二者相減可得到Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

解：（1）當n=1時，，解出a1=3，

又4Sn=an2+2an﹣3①

當n≥2時4sn﹣1=an﹣12+2an﹣1﹣3②

①﹣②4an=an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），即an2﹣an﹣12﹣2（an+an﹣1）=0，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵an+an﹣1＞0∴an﹣an﹣1=2（n≥2），

∴數列{an}是以3為首項，2為公差的等差數列，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n③

又2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1④

④﹣③Tn=﹣3×21﹣2（22+23++2n）+（2n+1）2n+1﹣6+8﹣22n﹣1+（2n+1）2n+1=（2n﹣1）2n+2