Question

已知點P（0，b）是y軸上的動點，點F（1，0）、M（a，0）滿足PM⊥PF，動點N滿足．
（1）求動點N所在曲線C的方程．
（2）若曲線C上的兩點A、B滿足OA⊥OB（O為坐標原點，A、B不同于O點），試證明直線AB必過定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點N（x，y）．依據題意，有，．由，知，由此能求出曲線C的方程．
（2）因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于原點的兩點，設、，
則、，．由OA⊥OB，知y₁y₂=-16．由直線AB的法向量為，得直線AB的方程：，由此能夠證明直線AB：恒過定點，且定點坐標為（4，0）．
解答：解：（1）設動點N（x，y）． （1分）
依據題意，有，．（3分）
又，
則，
進一步有．
因此，y²=4x（x≥0）．  （7分）
所以曲線C的方程是y²=4x（x≥0）． （8分）
（2）證明：因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于原點的兩點，
可設、，
則、，
． （11分）
又OA⊥OB，
故．
所以y₁y₂=-16． （14分）
由直線AB的法向量為，
可得直線AB的方程：，
進一步化簡為．（16分）
所以直線AB：恒過定點，
且定點坐標為（4，0）．      （18分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．