Question

已知點P（0，b）是y軸上的動點，點F（1，0）、M（a，0）滿足PM⊥PF，動點N滿足．
（1）求動點N所在曲線C的方程．
（2）已知點D（1，2）在曲線C上，若曲線C上兩點A、B（都不同于D點）滿足DA⊥DB，試證明直線AB必過定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點N（x，y），由于PM⊥PF，動點N滿足．用坐標表示向量，可得坐標之間的關系，進而化簡方程即可；
（2）利用DA⊥DB，用坐標表示對應的向量，從而有數量積為0，進而有y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．代入直線AB的方程，即可知直線恒過定點．
解答：解：（1）設動點N（x，y）． （1分）
依據題意，有，．（3分）
又，則，進一步有．
因此，y²=4x（x≥0）．      （7分）
所以曲線C的方程是y²=4x（x≥0）．     （8分）
證明 （2）因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于D點的兩點，
可設、，則、，．                     （10分）
又DA⊥DB，故，
進一步化簡得y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．        （12分）
由直線AB的法向量為，可得直線AB的方程：，
即．把y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20代入此方程，得．（14分）
進一步把直線AB的方程化為，知其恒過定點（5，-2）．（15分）
所以直線AB：恒過定點，且定點坐標為（5，-2）．    （16分）
證畢！
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的位置關系，主要考查軌跡方程的求解，考查直線恒過定點問題，關鍵是用坐標表示向量，利用向量的數量積為0解決，恒過定點應注意其求解的策略．