Question

【題目】在平面直角坐標系中，點在橢圓 上，過點的直線的方程為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若直線與軸、軸分別相交于兩點，試求面積的最小值；

（Ⅲ）設橢圓的左、右焦點分別為，，點與點關于直線對稱，求證：點三點共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求得橢圓C的a，b，c，運用離心率公式計算即可得到所求值；（Ⅱ）在直線l中，分別令x＝0，y＝0，求得A，B的坐標，求得三角形OAB的面積，由P代入橢圓方程，運用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）討論①當x0＝0時，P（0，±1），②當x0≠0時，設點Q（m，n），運用對稱，分別求得Q的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，即可得證．

（Ⅰ）依題意可知，，所以橢圓離心率為．

（Ⅱ）因為直線與軸，軸分別相交于兩點，所以．

令，由得，則．

令，由得，則．

所以的面積．

因為點在橢圓 上，所以．

所以．即，則．

所以．

當且僅當，即時，面積的最小值為．

（Ⅲ）①當時，．當直線時，易得，此時，．

因為，所以三點共線．同理，當直線時，三點共線．

②當時，設點，因為點與點關于直線對稱，

所以整理得

解得所以點．

又因為，，且

．

所以 ．所以點三點共線．

綜上所述，點三點共線．