Question

【題目】已知橢圓的左焦點坐標為，，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異于，的一點，且，所在直線斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過定點

【解析】

（1），再由，解方程組即可；

（2）設，，由，得，由直線MN的方程與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，代入計算即可.

（1）由題意知：，又，且

解得，，

∴橢圓方程為，

（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，設，，

由，得.

則，（*）

由，

得，

整理可得

（*）代入得，

整理可得，

又

，

∴，

即，

∴直線過點

當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，，，其中，

∴，

由，得，

所以

∴當直線的斜率不存在時，直線也過定點

綜上所述，直線過定點.