Question

【題目】已知函數有兩個不同的零點．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）記兩個零點分別為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）方程在有兩個不同跟等價于函數與函數的圖像在上有兩個不同交點,對進行求導，通過單調性畫出的草圖，由與有兩個交點進而得出的取值范圍; （Ⅱ）分離參數得：,從而可得恒成立；再令,從而可得不等式在上恒成立，再令，從而利用導數化恒成立問題為最值問題即可．

試題解析：（I）依題意，函數的定義域為，

所以方程在有兩個不同跟等價于函數與函數的圖像在上有兩個不同交點.

又，即當時，；當時，,

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

從而.

又有且只有一個零點是1，且在時，，在時，，

所以的草圖如下：

可見，要想函數與函數在圖像上有兩個不同交點，只需.

（Ⅱ）由（I）可知分別為方程的兩個根，即，，

所以原式等價于.

因為，，所以原式等價于.

又由，作差得，，即.

所以原式等價于.

因為，原式恒成立，即恒成立.

令，則不等式在上恒成立.

令，則，

當時，可見時，，所以在上單調遞增，又在恒成立，符合題意；

當時，可見當時，；當時，，

所以在時單調遞增，在時單調遞減.

又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以.