Question

下列有關命題的說法：
①命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題；
②“a=3”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要條件；
③已知命題p：對任意的x∈R，ax²+2x+1≥0．若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是[0，1）；
④“k=1”是“函數y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π”的充分不必要條件．
其中正確的有

①④

．

Answer 1

分析：①根據同角的三角函數相等，判斷原命題“若x=y，則sinx=siny”的真假，從而得出其逆否命題的真假；
②根據兩條線垂直的充要條件求出a，進行判斷真假；
③若對任意的x∈R，ax²+2x+1≥0為假命題，則存在x∈R，ax²+2x+1＜0為真，此時分a＜0，a=0，a＞0三種情況討論，求出實數a的取值范圍可判斷③的真假；
④k=-1，函數y=cos²kx-sin²kx的最小正周期也為π，可判定④的真假；

解答：解：∵當x=y時，sinx=siny一定成立
∴原命題是真命題，
∴原命題的逆否命題為真命題，故①正確；
若直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直，
根據兩條線垂直的充要條件3a+2（a-1）=0，得到a=

2

5

，
故“a=3”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要條件為假命題，故②錯誤；
已知命題p：命題p：對任意的x∈R，ax²+2x+1≥0．
若命題p是假命題，
則其否定存在x∈R，ax²+2x+1＜0為真命題，
a＜0時，函數y=ax²+2x+1開口朝下，滿足條件
a=0時，函數y=2x+1是一條直線，滿足條件
a＞0時，函數y=ax²+2x+1開口朝上，當△=4-4a＞0，即a∈（0，1）時滿足條件
綜上實數a的取值范圍是（-∞，1），故③錯誤；
當k=1時，函數y=cos²（x）-sin²（x）=cos2x，最小正周期為π，
但函數y=cos²kx-sin²kx的
最小正周期為π時，k=±1，
故“k=1”是“函數y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π”的充分不必要條件，即④正確；
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數的定義，線面垂直的充要條件，函數恒成立問題，及三角函數的周期性，難度中檔