Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為中點，側棱，底面為直角梯形，其中，，平面，、分別是線段、上的動點，且.

（1）求證：平面；

（2）當三棱錐的體積取最大值時，求到平面的距離；

（3）在（2）的條件下求與平面所成角.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）證明和即可；

（2）根據體積最值關系求出分別為的中點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用公式求距離；

（3）結合第（2）問的法向量利用公式即可求出線面角.

（1）在中，為中點，側棱，所以，

又因為平面，平面，所以，

是平面內兩條相交直線，

所以平面；

（2），即，

，所以是等腰直角三角形，，

平面，平面，所以，

連接，

設，則，由（1）平面，

所以是點到平面的距離，

所以三棱錐的體積

，，當時，取得最大值

此時分別為的中點，

，所以四邊形是平行四邊形，，

所以四邊形是正方形，，

以為原點，方向為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，

，

設平面的法向量，則，

取，則，

所以點到平面的距離；

（3）設與平面所成角為，

，

，

即與平面所成角為.