Question

【題目】若函數f（x）在定義域內存在實數x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數f（x）有“飄移點”x0 ． （Ⅰ）證明f（x）=x2+ex在區間 上有“飄移點”（e為自然對數的底數）；
（Ⅱ）若 在區間（0，+∞）上有“飄移點”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：f（x）=x2+ex，設g（x）=f（x+1）f（x）f（1），

則g（x）=2x+（e1）exe．

因為g（0）=1， ，

所以 ．

所以g（x）=0在區間 上至少有一個實數根，

即函數f（x）=x2+ex在區間 上有“飄移點”．

（Ⅱ）解：函數 在區間（0，+∞）上有“飄移點”x0，即有 成立，即 ，

整理得 ．

從而問題轉化為關于x的方程（2a）x22ax+22a=0在區間（0，+∞）上有實數根x0時實數a的范圍．

設h（x）=（2a）x22ax+22a，由題設知a＞0．

當a＞2且x＞0時，h（x）＜0，方程h（x）=0無解，不符合要求；

當a=2時，方程h（x）=0的根為 ，不符合要求；

當0＜a＜2時，h（x）=（2a）x22ax+22a圖象的對稱軸是 ，

要使方程h（x）=0在區間（0，+∞）上有實數根，則只需△=4a24（2a）（22a）≥0，

解得 ．

所以 ，即實數a的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）f（x）=x2+ex，設g（x）=f（x+1）f（x）f（1），則g（x）=2x+（e1）exe．只要判斷g（0）g（ ）＜0即可．（II）函數 在區間（0，+∞）上有“飄移點”x0，即有 成立，即 ，整理得 ．從而問題轉化為關于x的方程（2a）x22ax+22a=0在區間（0，+∞）上有實數根x0時實數a的范圍．設h（x）=（2a）x22ax+22a，由題設知a＞0．對a分類討論即可得出．