Question

已知函數f（x）=

2

3

x³-2ax²+3x（x∈R）．
（1）若a=1，點P為曲線y=f（x）上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；
（2）若函數y=f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，試求滿足條件的最大整數a．

Answer 1

分析：（1）設出切線的斜率k，得到k等于f′（x）并把a=1代入到f（x）中求出解析式，根據二次函數求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切點坐標，根據斜率和切點坐標寫出切線方程即可；
（2）求出f′（x），要使f（x）為單調遞增函數，必須滿足f'（x）＞0，即對任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）大于0，解出a小于一個關系式，利用基本不等式求出這個關系式的最小值，得到關于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍，在范圍中找出滿足條件的最大整數即可．

解答：解：（1）設切線的斜率為k，則k=f′（x）=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，當x=1時，k_min=1．
把a=1代入到f（x）中得：f（x）=

2

3

x³-2x²+3x，所以f（1）=

2

3

-2+3=

5

3

，即切點坐標為（1，

5

3

）
∴所求切線的方程為y-

5

3

=x-1，即3x-3y+2=0．
（2）f′（x）=2x²-4ax+3，因為y=f（x）為單調遞增函數，則對任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0，
f′（x）=2x²-4ax+3＞0，
∴a＜

2x2+3

4x

=

x

2

+

3

4x

，而

x

2

+

3

4x

≥

6

2

，當且僅當x=

6

2

時，等號成立．
所以a＜

6

2

，則所求滿足條件的最大整數a值為1．

點評：此題是一道綜合題，要求學生會根據導數求出切線的斜率，掌握不等式恒成立時所取的條件，利用會利用基本不等式求函數的最小值及會求二次函數的最小值．