Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,且過點(diǎn).
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

(1) . (2) .

試題分析：(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸，半焦距，則半短軸.   3分
又橢圓的焦點(diǎn)在軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.      5分
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為 ,點(diǎn)的坐標(biāo)是，
由，得，                      9分
由點(diǎn)在橢圓上,得,             11分
∴線段中點(diǎn)的軌跡方程是.     12分
點(diǎn)評(píng)：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)．