Question

【題目】已知橢圓經過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形．

（）求橢圓的方程．

（）過定點的動直線，交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（）由題可知，則，橢圓經過點，帶入可得，由此可知所求橢圓方程為；(2)分別求出與軸平行時和與軸垂直時得圓得方程，聯立可求得兩圓得切點，進而推斷所求的點如果存在只能是，當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點，當直線不垂直于軸時設直線的方程為，與橢圓的方程聯立求得，證明出,即以為直徑得圓恒過點.

試題解析：（）∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，

∴，

∴，

又∵橢圓經過點，代入可得，

∴，故所求橢圓方程為．

（）當與軸平行時，以為直徑的圓的方程： ，

當與軸垂直時，以為直徑的圓的方程： ，

由，

解得，

即兩圓公共點，因此，所求的點如果存在，只能是．

（i）當直線斜率不存在時，以為直徑的圓過點．

（ii）若直線斜率存在時，可設直線．

由，消去得： ，

記點、，

則，

∵， ，

∴，

．

∴，

綜合（i）（ii），以為直徑的圓恒過點．