Question

點P到x軸的距離比它到點（0，1）的距離小1，稱點P的軌跡為曲線C，點M為直線l：y=-m （m＞0）上任意一點，過點M作曲線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）當M的坐標為（0，-l）時，求過M，A，B三點的圓的標準方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（3）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA⊥MB？若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點P到x軸的距離比點P到點（0，1）的距離小1，
∴點P到直線y=-1的距離等于點P到點（0，1）的距離，
∴點P的軌跡是焦點在（0，1），準線為y=-1的拋物線，
∴點P的軌跡方程為：x²=4y．
（2）當M的坐標為（0，-1）時，設過M點的切線方程為y=kx-1，
代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，①
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），|AB|=4．
∵M到AB的中點（0，1）的距離為2，
∴過M，A，B三點的圓的標準方程為x²+（y-1）²=4．
易知圓與直線l：y=-1相切．
（3）設M（x₀，-m），過M的切線方程為：y=k（x-x₀）-m．
聯立整理得 x²-4kx+4（kx₀+m）=0，
∵直線與拋物線相切，∴△=0．
即16k²-16（kx₀+m）=0，整理得k²-kx₀-m=0，
∴k_MA+k_MB=x₀，k_MA•k_MB=-m
若MA⊥MB，則k_MA•k_MB=-m=-1．
即m=1時，直線l上任意一點M均有MA⊥MB；
m≠1時，MA與MB不垂直．
綜上所述，當m=1時，直線l上存在無窮多個點M，使MA⊥MB，
當m≠1時，直線l上不存在滿足條件的點M．
分析：（1）利用拋物線的定義即可得出其軌跡；
（2）當M的坐標為（0，-1）時，設過M點的切線方程為y=kx-1，與拋物線的方程聯立，因為相切，可得△=0，即可解出斜率k，可得出點A，B的坐標，進而得到過三點A、B、M的圓的標準方程，即可判斷出直線l與此圓的位置關系；
（3）設M（x₀，-m），過M的切線方程為：y=k（x-x₀）-m．與拋物線的方程聯立，由于相切可得△=0，即可得到直線MA，MB的斜率滿足的關系式，再利用垂直滿足的關系式即可判斷出答案．
點評：熟練掌握拋物線的定義、直線與拋物線相切轉化為關于一個未知數的一元二次方程的△=0、根與系數的關系、直線相互垂直與斜率的關系、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．