Question

已知函數f(x)=cos2(x+

π

12

)+sinxcosx，．
（1）求f（x）的最小正周期和圖象的對稱中心；
（2）若存在x₀∈[-

π

4

，

π

2

]，使得不等式f（x₀）＜m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化簡2的表達式為一個角的一個三角函數的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數的周期，結合三角函數的對稱中心求解即可．
（2）x₀∈[-

π

4

，

π

2

]，求出-

3

2

≤sin(2x0+

π

3

)≤1，即可求出m的取值范圍．

解答：解：f(x)=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

sin(2x+

π

3

)
（1）f（x）的最小正周期為π，令2x+

π

3

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)，
所以函數f（x）的圖象的對稱中心為(

kπ

2

-

π

6

，

1

2

)(k∈Z)．（6分）
（2）由x₀∈[-

π

4

，

π

2

]，得-

π

6

≤2x0+

π

3

≤

4π

3

，則-

3

2

≤sin(2x0+

π

3

)≤1，
于是

1

2

-

3

4

≤f(x0)≤1，而若存在x₀∈[-

π

4

，

π

2

]使得不等式f（x₀）＜m成立，
只需m＞f（x₀）_min，即m的取值范圍為(

1

2

-

3

4

，+∞)．（6分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，注意區別恒成立問題與本題的區別．考查計算能力．