Question

如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB上的任一點，E是邊AC上任一點，連接DE，F是線段DE上一點，連接BF，設

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，且λ2+λ3-λ1=

1

2

，則△BDF的面積S的最大值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

分析：由三角形ABC的面積為1且

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=

λ1AB•λ2AC

AB•AC

=λ1λ2可求三角形ADE的面積，再由△DMB∽△DEA可得

h1

h2

=

DB

DA

=

1-λ1

λ1

從而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

= λ3• 

1-λ1

λ1

，求出三角形DEF的面積之后，利用基本不等式可求面積的最大值

解答：解：分別過B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分別為M，N，設MB=h₁，AN=h₂
則

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=

λ1AB•λ2AC

AB•AC

=λ1λ2
∴S_△ADE=λ₁λ₂S_△ABC=λ₁λ₂
∵△DMB∽△DEA
∴

h1

h2

=

DB

DA

=

1-λ1

λ1

從而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

= λ3• 

1-λ1

λ1

∴S△DBF=

λ3(1-λ1)

λ1

λ1λ2=λ2λ3(1-λ1)≤(

λ2+λ3+1-λ1

3

)3=

1

8

當且僅當λ2=λ3=1-λ1=

1

2

取等號
故選：D

點評：本題以向量的共線為切入點，利用向量的共線轉化為線段的長度關系，解決本題的關鍵是根據三角形的面積公式先求出三角形ADE的面積；關鍵二是把所求的三角形的面積與三角形ADE的面積之間通過三角形的像似建立聯系．本題是一道構思非常巧妙的試題，要求考試不但要熟練掌握基礎知識，更要具備綜合解決問題的能力．