Question

【題目】設函數．

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若當時， ，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析: (1)由已知條件求出,由點斜式求出切線方程; (2)構造函數 ,由 ,通過轉化為證明 在 上為增函數,求出的范圍.

試題解析:（Ⅰ）當時， ，

則，所以，

又，所以曲線在處的切線方程為.，即.

（Ⅱ）由得，而，

所以，設函數，

于是問題 轉化為，對任意的恒成立.

注意到，所以若，則單調遞增，

從而.而，

所以等價于，

分離參數得，

由均值不等式可得，

當且僅當時等號成立，于是.

當時，設，

因為，又拋物線開口向上，

所以函數有兩個零點，

設兩個零點為，則，

于是當時， ，故，所以單調遞減，故，這與題設矛盾，不合題意.

綜上， 的取值范圍是.

點睛:本題主要考查了導數的幾何意義及恒成立問題轉化為求函數的最小值,屬于中檔題.在(1)中,導數的幾何意義是函數在某一點處切線的斜率,所以本題求切線方程是容易題;在(2)中,注意等價轉化,轉化為求函數在上為增函數,分離出參數,求 的最大值.得到的范圍.