Question

在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，頂點S在底面內的射影O在正方形ABCD的內部（不在邊上），且SO=λa，λ為常數，設側面SAB，SBC，SCD，SDA與底面ABCD所成的二面角依次為α₁，α₂，α₃，α₄，則下列各式為常數的是
①cotα₁+cotα₂
②cotα₁+cotα₃
③cotα₂+cotα₃
④cotα₂+cotα₄
（　　）

A．①②

B．②④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：過O點作MN⊥BC，根據二面角的定義易得∠SMO即為側面SBC與底面ABCD所成的二面角，∠SNO即為側面SDA與底面ABCD所成的二面角，根據余切函數的定義及SO=λa，λ為常數，易得到答案．

解答：解：過O點作MN⊥BC，則BC⊥AD
則OM，ON分別為BM，BN在底面ABCD上的射影
則∠SMO即為側面SBC與底面ABCD所成的二面角，∠SNO即為側面SDA與底面ABCD所成的二面角，
∴∠SMO=α₁，∠SNO=α₃，
故cotα₁=

OM

OS

，cotα₃=

ON

OS

則cotα₁+cotα₃=

OM

OS

+

ON

OS

=

MN

OS

=

a

λa

=

1

λ

即cotα₁+cotα₃為定值
同理可得cotα₂+cotα₄為定值
故選B

點評：本題以余切函數的定義為載體考查了二面角的定義，其中根據二面角的定義求出二面角的平面角是解答的關鍵．