Question

【題目】已知函數f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（12分）
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求導f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，

當a=0時，f′（x）=2ex﹣1＜0，

∴當x∈R，f（x）單調遞減，

當a＞0時，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ ）（ex﹣ ），

令f′（x）=0，解得：x=ln ，

當f′（x）＞0，解得：x＞ln ，

當f′（x）＜0，解得：x＜ln ，

∴x∈（﹣∞，ln ）時，f（x）單調遞減，x∈（ln ，+∞）單調遞增；

當a＜0時，f′（x）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）＜0，恒成立，

∴當x∈R，f（x）單調遞減，

綜上可知：當a≤0時，f（x）在R單調減函數，

當a＞0時，f（x）在（﹣∞，ln ）是減函數，在（ln ，+∞）是增函數；

（2）

由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x=0，有兩個零點，

由（1）可知：當a＞0時，f（x）=0，有兩個零點，

則f（x）min=a +（a﹣2） ﹣ln ，

=a（ ）+（a﹣2）× ﹣ln ，

=1﹣ ﹣ln ，

由f（x）min＜0，則1﹣ ﹣ln ＜0，

整理得：a﹣1+alna＜0，

設g（a）=alna+a﹣1，a＞0，

g′（a）=lna+1+1=lna+2，

令g′（a）=0，解得：a=e﹣2，

當a∈（0，e﹣2），g′（a）＜0，g（a）單調遞減，

當a∈（e﹣2，+∞），g′（a）＞0，g（a）單調遞增，

g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，

由g（1）=1﹣1﹣ln1=0，

∴0＜a＜1，

a的取值范圍（0，1）．

【解析】（1.）求導，根據導數與函數單調性的關系，分類討論，即可求得f（x）單調性；
（2.）由（1）可知：當a＞0時才有個零點，根據函數的單調性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求導，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范圍．
【考點精析】掌握基本求導法則和利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．