Question

【題目】已知橢圓，點，，分別為橢圓的左焦點、右頂點和下頂點，的面積為，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為橢圓上一點，直線與橢圓交于不同的兩點，，且（點為坐標原點），求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據橢圓的幾何性質可知，又橢圓的離心率為，由此即可求出橢圓方程；

（2）將直線方程與橢圓方程聯立，化簡可得，由此得到韋達定理，再根據，可由坐標運算求出點坐標，再將點坐標帶入橢圓方程，建立關于的方程，解方程，即可求出結果.

（1）設，由題意可知，……①

由橢圓的離心率為，即……②

聯立 ，解得 ；

所以橢圓的標準方程；

（2）由題意，將直線方程與橢圓方程聯立

可得，

又直線與橢圓交于不同的兩點，，則

即或；

設，，

則，

所以，

設，

又，所以，

所以，

又點為橢圓上一點，所以，即

所以，

所以，即，

可得，

可得，且滿足或；

故.