Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，函數在上的最小值為，若不等式有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）

【解析】

（1）求出導函數，然后根據的符號進行分類討論，并借助解不等式組的方法得到單調區間；（2）根據（1）中的結論求出當時，函數在上的最小值，因此問題轉化為有解，即有解，構造函數，求出函數的最小值即可得到所求．

（1）由，

得，

①當時，

令，得，

所以，或，即或，

解得或．

令，得，

所以或，即或，

解得或．

所以函數的單調遞增區間為，；單調遞減區間為．

②當時，

令，得，由①可知；

令，得，由①可知或．

所以函數的單調遞增區間為；單調遞減區間為，．

綜上可得，

當時，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為．

當時，的單調遞增區間為；單調遞減區間為，．

（2）由（1）可知若，則當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以不等式有解等價于有解，

即有解，

設，則，

所以當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以的極小值也是最小值，且最小值為，

從而，

所以實數的取值范圍為．