Question

【題目】已知函數f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1，g（x）=f（x）﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=﹣ 時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數g（x）的單調區間；
（Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，若y=f（x）圖象上的點都在 所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=﹣ 時，f（x）=﹣ x2+ x+lnx+ ，
f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=﹣ ；
列表討論f′（x）和f（x）的變化情況：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	↗	極大值	↘

∴當x=2時，f（x）取得極大值f（2）=ln2+ ；
（Ⅱ）當a＞0時，g（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx+a+1，
g（x）的定義域為（0，+∞），
g′（x）= ，
令g′（x）=0，得x=1或x= ，
①當0＜a＜ ，即 ＞1時，
由g′（x）＜0，解得：1＜x＜ ，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞ ，
∴g（x）在（1， ）上單調遞減，
在（0，1），（ ，+∞）上單調遞增；
②當a= ，即 =1時，在（0，+∞）上，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a＞ ，即0＜ ＜1時，
由g′（x）＜0，解得 ＜x＜1，由g′（x）＞0，解得0＜x＜ 或x＞1，
∴g（x）在（ ，1）上單調遞減，
在（0， ），（1，+∞）上單調遞增．
（Ⅲ）∵y=f（x）圖象上的點都在 所表示的平面區域內，
∴當x∈[1，+∞）時，f（x）﹣x≤0恒成立，
即當x∈[1，+∞）時，g（x）=a（x﹣1）2+lnx+1﹣x≤0恒成立．
只需g（x）max≤0；
①當a＞0時，由（Ⅱ）知，
當0＜a＜ 時，g（x）在（1， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；
當a≥ 時，g（x） 在（1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；
②當a=0時，g′（x）=﹣ ，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞減，g（x）≤g（1）=0成立；
③當a＜0時，g′（x）= ，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞減，g（x）≤g（1）=0成立，
綜上可知，實數a的取值范圍是a≤0
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極大值即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅲ）問題轉化為x∈[1，+∞）時，g（x）=a（x﹣1）2+lnx+1﹣x≤0恒成立，只需g（x）max≤0即可，根據函數的單調性求出a的范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．