Question

【題目】已知函數

（1）若a=1，求f（x）的極值；

（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的極小值是f（1）=1，無極大值（2）

【解析】分析：（1）求出導數，由不等式確定增區間，由確定減區間，從而得極值；

（2）問題等價于，因此用導數研究函數的最小值，由最小值小于0可求得的范圍，注意要分類討論．

詳解：（1）a=1時，f（x）=x﹣lnx，函數f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，故f（x）的極小值是f（1）=1，無極大值；

（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等價于[f（x）﹣g（x）]min＜0，

（x∈[1，e]）成立，設h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，

則h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；

①當1+a≥e，h（x）在[1，e]遞減，∴h（x）min=h（e）=e2﹣ea+1+a，

令h（x）min＜0，解得：a＞；

②當1+a＜e時，h（x）在（1，a+1）遞減，在（a+1，e）遞增，

∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2與h（x）min＜0矛盾，

綜上，a＞．