Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，下頂點為P，過點的動直線l交橢圓C于A，B兩點.

（1）當直線l平行于x軸時，P，F，A三點共線，且，求橢圓C的方程；

（2）當橢圓C的離心率為何值時，對任意的動直線l，總有？

Answer 1

【答案】（1）（2）橢圓C的離心率為

【解析】

（1）當直線與x軸平行，由，得到點坐標，根據，得到的值，將點代入橢圓方程，得到和，從而得到所求橢圓方程；

（2）①當直線l平行于x軸時，由，得到，從而得到，根據得到，從而得到離心率，②當直線l不平行于x軸時，當，橢圓方程轉化為，將直線l：與橢圓聯立，得到，，再對進行化簡，可得，從而得到所求橢圓離心率為.

解：（1）當直線與x軸平行時，即，

如圖，作軸于點D，

則根據，可得，

且，

解得，

又因為在橢圓上，所以，

解得

所以，

所以橢圓C的方程為；

（2）①當直線l平行于x軸時，

由，得

∴，又，

∴，∴，

∵，.

②當直線l不平行于x軸時，下面證明當，總有，

事實上，由①知橢圓可化為，

∴，

直線l的方程為，，，

由，得，

∴，

∵，

∴

.

∴，

綜上，當橢圓C的離心率為時，對任意的動直線l，總有.