Question

2013年東亞運動會于2013年10月6日至10月15日在中國天津舉行．天津某體育用品專賣店抓住商機購進某種東亞運動會特許商品進行銷售，該特許產品的成本為20元/個，每日的銷售量y（單位：個）與單價x（單位：元）之間滿足關系式y=

a

x-20

+4(x-50)2（其中20＜x＜50，a為常數）．當銷售價格為40元/個時，每日可售出該商品401個
（1）求a的值及每日銷售該特許產品所獲取的總利潤L（x）；
（2）試確定單價x的值，使所獲得的總利潤L（x）最大．

Answer 1

（1）由y=

a

x-20

+4(x-50)2，取x=40，y=401得，401=

a

40-20

+4(40-50)2
解得：a=20．
所以y=

20

x-20

+4(x-50)2．
則每日銷售該特許產品所獲取的總利潤
L（x）=y（x-20）=[

20

x-20

+4(x-50)2](x-20)=20+4(x-50)2(x-20)（20＜x＜50）；
（2）由L（x）=20+4（x-50）²（x-20）=4x³-480x²+18000x-199980．
得L′（x）=12x²-960x+18000=12（x-30）（x-50）．
當x∈（20，30）時，L′（x）＞0，L（x）為增函數，
當x∈（30，50）時，L′（x）＜0，L（x）為減函數．
所以當x=30時，L（x）_max=16020．
所以當銷售單價為30元/個時，所獲得的總利潤L（x）最大．