Question

【題目】為了解某市高三數學復習備考情況，該市教研機構組織了一次檢測考試，并隨機抽取了部分高三理科學生數學成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據頻率分布直方圖，估計該市此次檢測理科數學的平均成績；（精確到個位）

（2）研究發現，本次檢測的理科數學成績近似服從正態分布（，約為），按以往的統計數據，理科數學成績能達到自主招生分數要求的同學約占.

（ⅰ）估計本次檢測成績達到自主招生分數要求的理科數學成績大約是多少分？（精確到個位）

（ⅱ）從該市高三理科學生中隨機抽取人，記理科數學成績能達到自主招生分數要求的人數為，求的分布列及數學期望．（說明：表示的概率.參考數據：）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）;(ii) .

【解析】

（1）直方圖中，每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和，即可得到該市此次檢測理科數學的平均成績；（2）（ⅰ）令計算的值；（ⅱ）根據二項分布的概率公式得出的分布列，利用二項分布的期望公式可得數學期望.

（1）該市此次檢測理科數學成績平均成績約為：

（2）（ⅰ）記本次考試成績達到自主招生分數要求的理科數學成績約為，

根據題意，，即.

由得，，

所以，本次考試成績達到自主招生分數要求的理科數學成績約為分.

（ⅱ）因為，，.

所以的分布列為

Y
P

所以.