Question

設函數h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e為自然對數的底）．
（1）求函數F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）若存在常數k和b，使得函數f（x）和g（x）對其定義域內的任意實數x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數f（x）和g（x）的“隔離直線”．試問：函數h（x）和φ（x）是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數，對函數求導，使得導函數等于0，驗證可能的極值點兩側導函數的符合相反，得到函數存在極值．
（2）由題意知若存在隔離直線，則對其定義域內的任意實數x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，兩個函數的圖象有公共點，設出直線的方程，根據函數的恒成立得到k的值，求出函數的極大值，得到結論．

解答：解：（1）∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴F′(x)=

2(x- e )(x+ e )

x

當x=

e

時，F^′（x）=0，當0＜x＜

e

時，F^′（x）＜0，當x＞

e

時，F^′（x）＜0
∴F（x）在

e

處取得極小值0．
（2）由（1）知當x＞0時，h（x）≥φ（x），
若存在隔離直線，則對其定義域內的任意實數x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，
∵兩個函數的圖象有公共點，
∴隔離直線必過（

e

，e）
設直線的方程是y-e=k（x-

e

）
∴h（x）≥kx+e-k

e

恒成立，
∴△≤0
∴k=2

e

令G（x）=φ（x）-2

e

x+e
對函數求導有當x＞

e

時，F^′（x）＜0，當0＜x＜

e

時，F^′（x）＜0
∴當x=

e

時有G（x）的極大值 為0，也就是最大值為0．
從而G（x）≤0，即?(x)≤2

e

x-e，(x＞0) 恒成立．
故函數h（x） 和φ（x） 存在唯一的“隔離直線”y=2

e

x-e．

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，求解本題關鍵是根據導數研究出函數的單調性，由最值的定義得出函數的最值，本題中第一小題是求出函數的極值，第二小題是一個求函數的最值的問題，此類題運算量較大，轉化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認真仔細．