Question

對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且.這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為時變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）設(shè)，．若，且的各項之和為．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若數(shù)列再經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求的最小值，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；…．
以下重復(fù)出現(xiàn)，所以不會出現(xiàn)所有項均為的情形．            ………3分
（Ⅱ）解：（ⅰ）因為的各項之和為，且，所以為的最大項，
所以最大，即，或． …………5分
當(dāng)時，可得
由，得，即，故．…7分
當(dāng)時，同理可得，．    ………8分         
（ⅱ）方法一：由，則經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列分別為：；；；；；．
由此可見，經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列也是形如“”的數(shù)列，與數(shù)列“結(jié)構(gòu)”完全相同，但最大項減少12．
因為，
所以，數(shù)列經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列為．
接下來經(jīng)過“變換”后得到的數(shù)列分別為：；；；；；
；，……
從以上分析可知，以后重復(fù)出現(xiàn)，所以數(shù)列各項和不會更�。�
所以經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項和最小，的最小值為．
……………13分
方法二：若一個數(shù)列有三項，且最小項為，較大兩項相差，則稱此數(shù)列與數(shù)列 “結(jié)構(gòu)相同”．
若數(shù)列的三項為，則無論其順序如何，經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列的三項為(不考慮順序) ．
所以與結(jié)構(gòu)相同的數(shù)列經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列也與結(jié)構(gòu)相同，除外其余各項減少，各項和減少．
因此，數(shù)列經(jīng)過次“變換”一定得到各項為 (不考慮順序)的數(shù)列．
通過列舉，不難發(fā)現(xiàn)各項為的數(shù)列，無論順序如何，經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列會重復(fù)出現(xiàn)，各項和不再減少．
所以，至少通過次“變換”，得到的數(shù)列各項和最小，故的最小值為．
……………13分

略