Question

【題目】設函數f（x）= （a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0對一切x∈R恒成立的實數k的取值范圍；
（3）若函數f（x）的圖象過點（1， ），是否存在正數m，且m≠1使函數g（x）=logm[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值為0，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義域為R的奇函數

∴f（0）=0，

∴t=2

（2）解：由（1）得f（x）=ax﹣a﹣x，

∵f（1）＞0得 又a＞0

∴a＞1，

由f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0得f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1），

∵f（x）為奇函數，

∴f（kx﹣x2）＜f（1﹣x），

∵a＞1∴f（x）=ax﹣a﹣x為R上的增函數，

∴kx﹣x2＜1﹣x對一切x∈R恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立

故△=（k+1）2﹣4＜0解得﹣3＜k＜1

（3）解：函數f（x）的圖象過點（1， ），

∴a=2，假設存在正數m，且m≠1符合題意，由a=2得 = =

設t=2x﹣2﹣x則（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，

∵x∈[1，log23]，

∴ 記h（t）=t2﹣mt+2，

∵函數 在[1，log23]上的最大值為0，

∴（ⅰ）若0＜m＜1時，則函數h（t）=t2﹣mt+2在 有最小值為1

由于對稱軸 ∴ ，不合題意

（ⅱ）若m＞1時，則函數h（t）=t2﹣mt+2＞0在 上恒成立，且最大值為1，最小值大于0

①

又此時 ，

故g（x）在[1，log23]無意義

所以

② 無解，

綜上所述：故不存在正數m，使函數 在[1，log23]上的最大值為0

【解析】（1）由奇函數的性質可知f（0）=0，得出t=2；（2）由f（1）＞0得 又a＞0，求出a＞1，判斷函數的單調性f（x）=ax﹣a﹣x為R上的增函數，不等式整理為x2﹣（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立，利用判別式法求解即可；（3）把點代入求出a=2，假設存在正數m，構造函數設t=2x﹣2﹣x則（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，對底數m進行分類討論，判斷m的值．