Question

在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，能被5整除且奇偶數字相間的數共有（　　）

A．120個

B．108

C．20

D．12

Answer 1

分析：由于要能被5整除，故可利用分類計數原理將任務分為三類：第一類，末位為0且奇偶數字相間的四位數；第二類，末位為5，其中沒有0的奇偶數字相間的四位數；第三類：末位為5，其中有0的奇偶數字相間的四位數，最后將三類的方法數求和即可．在每類中計數時，可利用分步計數原理，第一步，選出恰當個數的奇數，因為此四位數中一定有兩個奇數，兩個偶數；第二步，選出恰當個數的偶數，第三步，按要求排成四位數，將每步的方法數相乘即可

解答：解：利用分類計數原理：
第一類：末位為0且奇偶數字相間的四位數
    第一步，選兩個奇數共有C₃²種選法，第二步，選一個偶數共有C₂¹種選法；第三步，由于奇偶相間，故偶數位置確定，排兩個奇數共有A₂²種排法
∴末位為0且奇偶數字相間的四位數共有C₃²×C₂¹×A₂²=3×2×2=12個
第二類：末位為5，其中沒有0的奇偶數字相間的四位數
     第一步，選一個奇數共有C₂¹種選法，第二步，選兩個偶數共有C₂²種選法；第三步，由于奇偶相間，故奇數位置確定，排兩個偶數共有A₂²種排法
∴末位為5，其中沒有0，且奇偶數字相間的四位數共有C₂¹×C₂²×A₂²=2×1×2=4個
第三類：末位為5，其中有0的奇偶數字相間的四位數
      第一步，選一個奇數共有C₂¹種選法，第二步，選一個偶數共有C₂¹種選法；第三步，將0安排在非首位的位置共有1個位置可選，第四步，安排其他兩個數共有1種排法
∴末位為5，其中有0，且奇偶數字相同的四位數共有C₂¹×C₂¹×1×1=2×2×1×1=4個
∴綜上所述，由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，能被5整除且奇偶數字相間的數共有12+4+4=20
故選 C

點評：本題考查了分類計數原理與分步計數原理的運用，排列、組合在計數中的應用，合理分類，恰當分步是解決本題的關鍵