Question

【題目】已知函數，．

（1）若在點處的切線與直線垂直，求函數在點處的切線方程；

（2）若對于，恒成立，求正實數的取值范圍；

（3）設函數，且函數有極大值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由求得實數的值，可求出切點坐標，再利用點斜式方程可得出所求切線的方程；

（2）令，且有，對實數進行分類討論，利用導數分析函數在區間上的單調性，結合可求得實數的取值范圍；

（3）由題意得出，可得出，且，代入，利用導數證明出對任意的恒成立即可.

（1），則，

直線的斜率為，由題意可得，解得，

所以，，則，則點，

因此，所求切線的方程為，即；

（2），恒成立，即恒成立，

令，其中，且，則對恒成立，

.

①當時，對任意的，，此時，函數在上單調遞增，此時，，不合乎題意；

②當時，則.

（i）若，則，對，，此時，函數在上單調遞減，則，合乎題意；

（ii）若，則，

令，得，解得，，

由韋達定理得，則必有，

當時，，此時，函數單調遞增；當時，，此時，函數單調遞減.

所以，，不合乎題意.

綜上所述，實數的取值范圍是；

（3），所以，，

函數的定義域為，

由于函數有極大值點，則，解得或.

設方程的兩根分別為、，則，

若，則且，不合乎題意；

若，則且，合乎題意.

由于函數的極大值點為，則，即，

當時，；當時，；當時，.

且，可得，

令，

，

當時，，則，此時.

所以，函數在區間上單調遞減，

因為，則，因此，.