Question

【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0）上點M（3，m）到焦點F的距離為4．

（Ⅰ）求拋物線方程；

（Ⅱ）點P為準線上任意一點，AB為拋物線上過焦點的任意一條弦，設直線PA，PB，PF的斜率為k1，k2，k3，問是否存在實數λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線方程為y2=4x；（2）見解析.

【解析】

由拋物線的定義，到焦點的距離等于到準線的距離即可求出，即可得到方程

求出焦點和準線，設出直線，聯立方程，消去得到的方程，運用韋達定理，設，，，運用斜率公式，化簡整理，注意點在拋物線上，且全部轉化為的式子，即可判斷

（I）拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為（，0），準線為x=，

由拋物線的定義可知：4=3，p=2

∴拋物線方程為y2=4x；

（II）由于拋物線y2=4x的焦點F為（1，0），準線為x=﹣1，

設直線AB：x=my+1，與y2=4x聯立，消去x，整理得：

y2﹣4my﹣4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，t），有

易知，而

==

==2k3

∴存在實數λ=2，使得k1+k2=λk3恒成立．