Question

某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，他們分別到氣象局與醫院抄錄1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與患感冒而就診的人數，得到如下資料：

日    期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
晝夜溫差x（℃）	10	11	13	12	8	6
就診人數y（個）	22	25	29	26	16	12

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗．
（Ⅰ）求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率；
（Ⅱ）若選取的是1月與6月的兩組數據，請根據2至5月份的數據，求出y關于x的線性回歸方程

y

=bx+a；
（Ⅲ）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？
參考公式：線性回歸方程的系數公式為b=

n i-1 xiyi-n . x . y

n i-1 x 2 i -n -2 x

=

n i-1 (xi- . x )(yi- . y )

n i-1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是從6組數據中選取2組數據共有C₆²種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種，根據古典概型的概率公式得到結果．
（II）根據所給的數據，求出x，y的平均數，根據求線性回歸方程系數的方法，求出系數b，把b和x，y的平均數，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程．
（III）根據所求的線性回歸方程，預報當自變量為10和6時的y的值，把預報的值同原來表中所給的10和6對應的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想．

解答：解：（I）設抽到相鄰兩個月的數據為事件A，
∵從6組數據中選取2組數據共有C₆²=15種情況，每種情況是等可能出現的，其中抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種，
∴P(A)=

5

15

=

1

3

…（4分）
（II）由數據求得x=11，y=24，由公式求得

b

=

18

7

，由

a

=

.

y

-b

.

x

，求得

a

=-

30

7

∴y關于x的線性回歸方程為

y

=

18

7

x-

30

7

…（9分）
（III）當x=10時，y=

150

7

，|

150

7

-22|=

4

7

＜2，
當x=6時，y=

78

7

，|

78

7

-12|=

6

7

＜2，
所以該小組所得線性回歸方程是理想的．…（12分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查等可能事件的概率，考查線性分析的應用，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題目，這種題目可以作為解答題出現在高考卷中．