Question

【題目】已知函數，．

（1）求函數的極小值；

（2）設函數，討論函數在上的零點的個數；

（3）若存在實數，使得對任意，不等式恒成立，求正整數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分類討論，詳見解析；（3）4.

【解析】

(1)求導后,利用導數可求得極小值;

(2)轉化為討論在上的解的個數,再利用導數可解決;

(3) 轉化為對任意的，不等式恒成立后,構造函數利用導數可解得,

（1），.

則，

令，得；令，得或（或列表求）

∴函數在單調減，在單調增，在上單調減，

∴函數在處取得極小值；

（2），

∵，∴，

設，則，令，則.

∴在上單調減，在上單調增，且，，，.

∴當或時，有1解，

即在上的零點的個數為1個；

當時，有2解，即在上的零點的個數為2個；

當時，有0解，即在上的零點的個數為0個．

（3）∵，存在實數，使對任意的，不等式恒成立，∴存在實數，使對任意的，不等式恒成立.

∵，∴對任意的，不等式恒成立.

即對任意的，不等式恒成立．

設，，

∴，可求得在上單調增，在上單調減，在上單調增，

則在上單調減，在上單調增，

當時，在上遞減,所以恒成立；

當時，在上遞減,在上遞增,所以，因為， ，而；所以在上不恒成立,

∴正整數的最大值為4．