Question

已知的頂點(diǎn)A（0，1），AB邊上的中線CD所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.
（1）求的項(xiàng)點(diǎn)B、C的坐標(biāo);
（2）若圓M經(jīng)過不同的三點(diǎn)A、B、P（m、0），且斜率為1的直線與圓M相切于點(diǎn)P
求：圓M的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：(1)由題意可知在直線上，又在軸，即，聯(lián)立可求，又因?yàn)锳C邊上的高BH所在直線方程為，可得點(diǎn)在軸，設(shè)為，由是 邊的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，把的坐標(biāo)用表示出來(lái)，進(jìn)而把的坐標(biāo)代入直線中，求；（2）弦的垂直平分線過圓心，故先求弦的垂直平分線，再求弦垂直平分線，聯(lián)立求交點(diǎn)，即得圓心坐標(biāo)，其中坐標(biāo)都是用表示，再根據(jù)過圓心和切點(diǎn)的直線必與斜率為1的直線垂直，∴,列式求，從而圓心確定，再根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求半徑，圓的方程確定.
試題解析：（1）AC邊上的高BH所在直線方程為y=0,所以AC: x=0
又CD: ，所以C(0, -)                            2分
設(shè)B(b, 0)，則AB的中點(diǎn)D()，代入方程
解得b="2," 所以B(2, 0)                                 4分
（2）由A(0, 1), B(2, 0)可得，圓M的弦AB的中垂線方程為
BP也是圓M的弦，所以圓心在直線上.  設(shè)圓心M
因?yàn)閳A心M在直線上，所以 ①
又因?yàn)樾甭蕿?的直線與圓M相切于點(diǎn)P，所以.
即，整理得： ②
由①②可得：，所以，半徑
所以所求圓的方程為                   12分