Question

【題目】橢圓 過點 ，離心率為 ，左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 過F1的直線交橢圓于A，B兩點． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當△F2AB的面積為 時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓 過點 ， ∴ ①，
又∵離心率為 ，
∴ ，∴ ②，
聯立①②得a2=4，b2=3．
∴橢圓的方程為：
（Ⅱ）①當直線的傾斜角為 時， ，
= = ，不適合題意．
②當直線的傾斜角不為 時，設直線方程l：y=k（x+1），
代入 得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 ， ，
∴|AB|= = = ．
點F2到直線l的距離d= ，
∴ = = = ，
化為17k4+k2﹣18=0，解得k2=1，∴k=±1，
∴直線方程為：x﹣y+1=0或x+y+1=0
【解析】（Ⅰ）由于橢圓 過點 ，離心率為 ，可得 ， 即 ，即可解出．（Ⅱ）對直線l的斜率分類討論，與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．