Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的單調區間；

（2）若，，求證：.

Answer 1

【答案】(1) 的單調遞增區間為，不存在遞減區間.(2)見證明

【解析】

(1)求出，研究函數的正負情況即可明確的正負情況，即可得到的單調區間；

(2) 設，證明，要證明

只需證明.

解法一：（1）的定義域為，時，

,

所以

當時，，所以在單調遞減；

當時，，所以在單調遞增；

所以，所以在單調遞增，

即的單調遞增區間為，不存在遞減區間.

（2）設，則

當時，，所以在單調遞增；

當時，，所以在單調遞減；

所以

所以時，

即，要證明

只需證明

由（1）知，在單調遞增，

所以，當時，，即

所以當時，

所以只需證明，即證明

設，則

所以在單調遞增，所以，所以原不等式成立.

綜上，當，時，

解法二：（1）同解法一

（2）同解法一得只需證明

設，則

,

由得，即

因為，所以

又因為，所以

因為，所以

所以，在單調遞增，所以

所以在單調遞減，所以，即

綜上，當，時，

解法三：（1）同解法一

（2）同解法一得要證明，只需證明，

即證明，設

則

由，得，即，所以，

所以在單調遞增，所以

即，所以

綜上，當，時，

解法四：（1）同解法一

（2）同解法一得要證明，只需證明，

即證明，設

，設，

因為，所以，所以在單調遞減，

所以，

所以在單調遞增，所以

即，所以

綜上，當，時，