Question

【題目】在直角坐標平面上的一列點簡記為，若由構成的數列滿足，（其中是與軸正方向相同的單位向量），則稱為“點列”.

（1）試判斷：，...是否為“點列”？并說明理由.

（2）若為“點列”，且點在點的右上方.任取其中連續三點，判斷的形狀（銳角，直角，鈍角三角形），并證明.

（3）若為“點列”，正整數滿足：，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）是“點列”,理由見解析；（2）鈍角三角形，證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據所給的個點的坐標，觀察出數列的通項公式，把數列的通項代入新定義的數列，驗證數列滿足，得到是點列的結論．
（2）用所給的三個點構造三個向量，寫出三個向量的坐標，問題轉化為向量夾角的大小問題，判斷出兩個向量的數量積小于零，得到兩個向量所成的角是鈍角，得到結果．
（3）本題是要求判斷兩組向量的數量積的大小，根據兩個數列各自的項之間的大小關系，即可得到向量的數量積之間的關系．

解：（1）由題意可知，

，
，

，
∴是點列；
（2）在中，
，，
，
∵點在點的右上方，
，
∵是點列，
，
，則，

為鈍角，
為鈍角三角形；
（3），
①
②
同理③
由于是點列，于是④
由①、②、③、④可推得，
，

又由（1）知
．