Question

設A、B是雙曲線x²-

y2

2

=1的兩點，若線段AB的中點為N（1，2）
（1）求直線AB的方程；
（2）求線段AB的長度．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程為：y-2=k（x-1），代入雙曲線方程，利用根與系數的關系即可得出；
（2）利用弦長公式即可得出．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程為：y-2=k（x-1），
即y=kx+2-k，
代入雙曲線方程x2-

y2

2

=1，
得（2-k²）x²+2（2-k）kx-k²+4k-6=0（k≠2）（*）
．∴x1+x2=

2k(k-2)

k2-2

=2x_N=2．解得k=1．
又直線經過點N，由點斜式直線AB方程為：x-y+1=0．
（2）由（1）k=1代入（*）得x²-2x-3=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-3．
∴|AB|=|x₁-x₂|•

1+k2

=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

22+4×3

=4

2

．

點評：直線與雙曲線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式等是解題的關鍵．